Elenco dei numeri primi e perfetti di Mersenne -
List of Mersenne primes and perfect numbers

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Aste Cuisenaire che mostrano i divisori propri di 6 (1, 2 e 3) sommando fino a 6
Visualizzazione di 6 come numero perfetto
Un grafico che traccia gli anni sull'asse x con il numero di cifre del primo più grande conosciuto logaritmicamente sull'asse y, con due linee di tendenza
Grafico logaritmico del numero di cifre del numero primo più grande conosciuto per anno, quasi tutte numeri primi di Mersenne
.

Esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri primi di Mersenne ei numeri pari perfetti. Ciò è dovuto al teorema di Euclide-Eulero , parzialmente dimostrato da Euclide e completato da Leonhard Euler : i numeri pari sono perfetti se e solo se possono essere espressi nella forma

2 p − 1 × (2 p − 1)
, dove
2 p − 1
è un primo di Mersenne. In altre parole, tutti i numeri che si adattano a quell'espressione sono perfetti, mentre tutti i numeri pari perfetti si adattano a quella forma. Ad esempio, nel caso di
p = 2
,
2 2 − 1 = 3
è primo e
2 2 − 1 × (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6
è perfetto.

Attualmente è un problema aperto se ci siano un numero infinito di numeri primi di Mersenne e persino numeri perfetti. La frequenza dei numeri primi di Mersenne è oggetto della congettura di Lenstra–Pomerance–Wagstaff , che afferma che il numero atteso di primi di Mersenne minore di alcuni dati

x
è
( e γ / log 2) × log log x
, dove
e
è il numero di Eulero ,
γ
è la costante di Eulero e
log
è il logaritmo naturale . Inoltre non è noto se esistono numeri perfetti dispari; sono state provate varie condizioni su possibili numeri perfetti dispari, incluso un limite inferiore di
10 1500
.

per i numeri primi di Mersenne efficiente per i computer binari.

I ranghi visualizzati sono tra gli indici attualmente noti a partire dal 2022; sebbene improbabile, i ranghi possono cambiare se vengono scoperti quelli più piccoli. Secondo GIMPS, tutte le possibilità inferiori al 48° esponente di lavoro

p = 57.885.161
sono state controllate e verificate a partire da ottobre 2021. L'anno di scoperta e lo scopritore sono del primo di Mersenne, poiché il numero perfetto segue immediatamente il teorema di Euclide-Eulero. I rilevatori indicati come "GIMPS/ nome " si riferiscono alle scoperte GIMPS con l'hardware utilizzato da quella persona. Le voci successive sono estremamente lunghe, quindi vengono visualizzate solo le prime e le ultime 6 cifre di ciascun numero.

da 350 MHz a 2 GHz
Tabella di tutti i 51 numeri primi di Mersenne attualmente conosciuti e corrispondenti numeri perfetti
Rango
P
Mersenne primo Cifre prime di Mersenne Numero perfetto Cifre numeriche perfette Scoperta Scopritore Metodo Rif.
1 2 3 1 6 1
Tempi antichi
Noto ai matematici della Grecia antica Non registrato
2 3 7 1 28 2
3 5 31 2 496 3
4 7 127 3 8128 4
5 13 8191 4 33550336 8
C. 1456
Anonimo Divisione di prova
6 17 131071 6 8589869056 10
1588
Pietro Cataldi
7 19 524287 6 137438691328 12
8 31 2147483647 10 230584...952128 19
1772
Leonardo Eulero Divisione di prova con restrizioni modulari
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37
novembre 1883
Ivan M. Pervushin Sequenze di Luca
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54
giugno 1911
Ralph Ernest Powers
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65
1 giugno 1914
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77
10 gennaio 1876
Edouard Lucas
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314
30 gennaio 1952
Raphael M. Robinson LLT su SWAC
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366
15 1.279 104079...729087 386 541625...291328 770
25 giugno 1952
16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327
7 ottobre 1952
17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373
9 ottobre 1952
18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937
8 settembre 1957
Hans Risel LLT su BESK
19 4.253 190797...484991 1.281 182017...377536 2.561
3 novembre 1961
Alexander Hurwitz LLT su IBM 7090
20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663
21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834
11 maggio 1963
Donald B. Gillies LLT su ILLIA II
22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985
16 maggio 1963
23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751
2 giugno 1963
24 19.937 431542...041471 6.002 931144...942656 12.003
4 marzo 1971
Bryant Tuckerman LLT su IBM 360/91
25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066
30 ottobre 1978
Landon Curt Noll e Laura Nickel LLT su CDC Cyber 174
26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973
9 febbraio 1979
Landon Curt Noll
27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790
8 aprile 1979
Harry L. Nelson e David Slowinski LLT su Cray-1
28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924
25 settembre 1982
David Slowinski
29 110.503 521928...515007 33.265 136204...862528 66.530
29 gennaio 1988
Walter Colquitt e Luke Welsh LLT su NEC SX -2
30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502
19 settembre 1983
David Slowinski et al. ( Cray ) LLT su Cray X-MP
31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130.100
1 settembre 1985
LLT su Cray X-MP/24
32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663
17 febbraio 1992
33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430
4 gennaio 1994
LLT su Cray C90
34 1.257.787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263
3 settembre 1996
LLT su Cray T94
35 1.398.269 814717...315711 420.921 331882...375616 841.842
13 novembre 1996
GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 su PC Pentium a 90 MHz
36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864
24 agosto 1997
GIMPS/Gordon Spence LLT / Prime95 su PC Pentium da 100 MHz
37 3.021.377 127411...694271 909.526 811686...457856 1.819.050
27 gennaio 1998
GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 su PC Pentium da 200 MHz
38 6.972.593 437075...193791 2.098.960 955176...572736 4.197.919
1 giugno 1999
GIMPS / Nayan Hajratwala
39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892
14 novembre 2001
GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 su PC con processore Athlon T-Bird da 800 MHz
40 20.996.011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858
17 novembre 2003
GIMPS / Michael Shafer
41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465
15 maggio 2004
GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 su PC con processore Pentium 4 a 2,4 GHz
42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458
18 febbraio 2005
GIMPS / Martin Nowak
43 30.402.457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103
15 dicembre 2005
GIMPS / Curtis Cooper e Steven Boone LLT / Prime95 su PC presso l'Università del Missouri centrale
44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714
4 settembre 2006
45 37.156.667 202254...220927 11.185.272 204534...480128 22.370.543
6 settembre 2008
GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 su PC
46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127
4 giugno 2009
GIMPS / Strano Magnar Strindmo LLT / Prime95 su PC con processore Intel Core 2 a 3 GHz
47 43.112.609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377
23 agosto 2008
GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 su PC Dell OptiPlex con processore Intel Core 2 Duo E6600
48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340
25 gennaio 2013
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 su PC presso l'Università del Missouri centrale
* 59.451.331 Pietra miliare non verificata più bassa
49 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235
7 gennaio 2016
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 su PC con processore Intel Core i7-4790
50 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850
26 dicembre 2017
GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 su PC con processore Intel Core i5-6600
51 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095
7 dicembre 2018
GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 su PC con processore Intel Core i5-4590T
* 107.148.487 Pietra miliare non testata più bassa

Appunti

Riferimenti