Numero piramidale quadrato -

Square pyramidal number

I numeri piramidali erano uno dei pochi tipi di numeri figurati tridimensionali studiati nella matematica greca , nelle opere di Nicomaco , Teone di Smirne e Giamblico . Le formule per sommare quadrati consecutivi per dare un polinomio cubico, i cui valori sono i numeri quadrati piramidali, sono fornite da Archimede , che utilizzò questa somma come lemma come parte di uno studio del volume di un cono , e da Fibonacci , come parte di una soluzione più generale al problema di trovare formule per somme di progressioni di quadrati. I numeri quadrati piramidali erano anche una delle famiglie di numeri figurati studiati dai matematici giapponesi del periodo wasan, che li chiamarono "kirei saijo suida".

Lo stesso problema, formulato come quello del conteggio delle palle di cannone in una piramide quadrata, fu posto da Walter Raleigh al matematico Thomas Harriot alla fine del 1500, mentre entrambi erano in viaggio per mare. Si dice che il problema della palla di cannone , chiedendo se ci sono numeri quadrati piramidali che sono anche numeri quadrati diversi da 1 e 4900, si sia sviluppato da questo scambio. Édouard Lucas ha trovato la piramide di 4900 palline con un numero quadrato di palline e, nel rendere più ampiamente noto il problema della palla di cannone, ha suggerito che fosse l'unica soluzione non banale. Dopo prove incomplete di Lucas e Claude-Séraphin Moret-Blanc, la prima prova completa che non esistono altri numeri simili fu data da GN Watson nel 1918.

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Se le sfere sono raggruppate in piramidi quadrate il cui numero di strati è 1, 2, 3, ecc., i numeri piramidali quadrati che danno il numero di sfere in ciascuna piramide sono:

Questi numeri possono essere calcolati algebricamente, come segue. Se una piramide di sfere viene scomposta nei suoi strati quadrati con un numero quadrato di sfere in ciascuno, il numero totale di sfere può essere contato come la somma del numero di sfere in ogni quadrato,

${\displaystyle P_{n}}$

$${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$

e questa somma può essere risolta per dare un polinomio cubico , che può essere scritto in diversi modi equivalenti:

$${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

Questa equazione per la somma dei quadrati è un caso speciale della formula di Faulhaber per le somme delle potenze e può essere dimostrata mediante induzione matematica .

( t + 1)( t + 2)(2 t + 3)

/

6

= Pt _{+ 1}

.

Enumerazione geometrica

Tutti i 30 quadrati in una griglia 4×4

Questo numero può essere ricavato come segue:

• Il numero di quadrati
  1 × 1
  trovati nella griglia è
  n ²
  .
• Il numero di
  2 × 2
  quadrati trovati nella griglia è
  ( n − 1) ²
  . Questi possono essere contati contando tutti i possibili angoli in alto a sinistra di
  2 × 2
  quadrati.
• Il numero di
  k × k
  quadrati
  (1 ≤ k ≤ n )
  trovato nella griglia è
  ( n − k + 1) ²
  . Questi possono essere contati contando tutti i possibili angoli in alto a sinistra di
  k × k
  quadrati.

Ne consegue che il numero di quadrati in una griglia quadrata

$${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.}$$

Cioè, la soluzione del puzzle è data . è considerata equivalente, il numero di matrici con coefficienti interi non negativi sommati a , per valori dispari di , è un numero piramidale quadrato.

${\displaystyle P_{n}}$

Rapporti con altri numeri figurati

Una piramide quadrata di palle di cannone al castello di Rye in Inghilterra

4900 palline disposte come una piramide quadrata di lato 24 e un quadrato di lato 70

Il problema della palla di cannone richiede le dimensioni delle piramidi delle palle di cannone che possono anche essere distese per formare una matrice quadrata o, in modo equivalente, quali numeri sono sia quadrati che quadrati piramidali. Oltre a 1, c'è solo un altro numero che ha questa proprietà: 4900, che è sia il 70° numero quadrato che il 24° numero quadrato piramidale.

I numeri quadrati piramidali possono essere espressi come somme di coefficienti binomiali :

$${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$$

I coefficienti binomiali che si verificano in questa rappresentazione sono numeri tetraedrici e questa formula esprime un numero piramidale quadrato come somma di due numeri tetraedrici allo stesso modo in cui i numeri quadrati sono la somma di due numeri triangolari consecutivi . Se un tetraedro viene riflesso su una delle sue facce, le due copie formano un bipiramide triangolare . I numeri piramidali quadrati sono anche i numeri figurati dei bipiramidi triangolari e questa formula può essere interpretata come un'uguaglianza tra i numeri piramidali quadrati e i numeri bipiramidali triangolari. Analogamente, riflettendo una piramide quadrata sulla sua base si produce un ottaedro, da cui segue che ogni numero ottaedrico è la somma di due numeri piramidali quadrati consecutivi.

I numeri piramidali quadrati sono anche correlati ai numeri tetraedrici in un modo diverso: i punti di quattro copie della stessa piramide quadrata possono essere riorganizzati per formare un singolo tetraedro con il doppio dei punti lungo ciascun bordo. Questo è,

$${\displaystyle 4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

Altre proprietà

, sebbene converga più rapidamente. È:

$${\displaystyle {\begin{allineato}\sum _{i=1}^{\infty}&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\circa 0,849556.\ \\end{allineato}}}$$

Nella teoria dell'approssimazione , le sequenze di numeri dispari, somme di numeri dispari (numeri quadrati), somme di numeri quadrati (numeri piramidali quadrati), ecc., formano i coefficienti in un metodo per convertire le approssimazioni di Chebyshev in polinomi .

Riferimenti

link esterno

• Weisstein, Eric W. , "Numero piramidale quadrato" , MathWorld